Κυριακή, 6 Ιανουαρίου 2019

Πυθαγόρας και Πυθαγόρειο Θεώρημα


Υπάρχει ένα μαθηματικό θεώρημα που σχεδόν όλοι το έχουμε δει στο σχολείο. Τώρα φέρει το όνομα του Πυθαγόρα, αλλά ήταν γνωστό στην αρχαιότητα πολύ πριν γεννηθεί ο Πυθαγόρας. […]

Το πυθαγόρειο θεώρημα: για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρών πλευρών ισούται με το τετράγωνο της μακρύτερης πλευράς. Είναι δυνατόν να σχηματιστούν τέτοια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Το πιο φημισμένο είναι το τρίγωνο με πλευρές μήκους 3,4 και 5 υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων πυθαγόρειων τριάδων, όπως ονομάζονται, π.χ. οι 5,12,13 και 7,24,25 οι οποίες ήταν ήδη γνωστές στην αρχαιότητα.

Ένα από τα πιο συναρπαστικά βαβυλωνιακά μαθηματικά κείμενα είναι η πινακίδα που είναι γνωστή τώρα με το όνομα Πλίμπτον 322 και φυλάσσεται στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης. Έχει 4 στήλες και 15 σειρές αριθμών και μοιάζει να είναι ατελής· μπορεί να είναι θραύσμα μεγαλύτερης πινακίδας. Είναι σήμερα γενικά αποδεκτό ότι αποτελεί έναν κατάλογο κλασματικών πυθαγόρειων τριάδων. Μία τέτοια λεπτή τεχνική πρέπει να σήμαινε ότι οι Βαβυλώνιοι καταλάβαιναν το πυθαγόρειο θεώρημα ήδη από την περίοδο 1800-1650 π.Χ., περισσότερο από 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα

Αυτή η ερμηνεία υποστηρίζεται και από μία ακόμα πινακίδα που βρέθηκε κοντά στη Βαβυλώνα και χρονολογείται από την ίδια εποχή, ένα από τα παλαιότερα παραδείγματα του θεωρήματος που είναι γνωστά σήμερα. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν τον κανόνα για γεωμετρικούς υπολογισμούς και για να βρίσκουν λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων, αν και αυτού του είδους η Άλγεβρα ήταν προφορική μάλλον παρά συμβολική. Κάποιοι υποστηρίζουν ότι οι Βαβυλώνιοι μπορεί να είχαν αναπτύξει μία πρώιμη μορφή τριγωνομετρίας. […]

Η βαβυλωνιακή πινακίδα που σήμερα είναι γνωστή με το
όνομα Πλίμπτον 322 είναι ένα από τα πιο καλά μελετημένα
μαθηματικά ευρήματα της αρχαιότητας. 
Και φτάνουμε τελικά στον μύθο που λέγεται Πυθαγόρας (περ. 580-500 π.Χ.). Ίσως δεν είναι τυχαίο ότι ο Πυθαγόρας ήταν σχεδόν σύγχρονος του Βούδα, του Κομφούκιου, του Μαχαβίρα, του Λάο Τσε και ίσως του Ζωροάστρη. Το μίγμα μαθηματικών και μυστικισμού που καλλιέργησε έχει απόηχους ακόμα και σήμερα, κυρίως μέσω της εξέλιξης του τον 3ο αι. π.Χ., του Νεοπλατωνισμού. Ο πραγματικός Πυθαγόρας παραμένει άγνωστος.

Οι αναφορές σ' αυτόν είναι συχνότατα προκατειλημμένες, και ακόμα και ο Αριστοτέλης, λιγότερο από 200 χρόνια αργότερα, δεν καταφέρνει να μας δώσει μία καθαρή εικόνα γι' αυτόν. Το σημαντικό στον Πυθαγόρα και στους οπαδούς του είναι η μαθηματική τους φιλοσοφία. Η πεποίθηση τους ότι τα μαθηματικά είναι η μία και μοναδική πηγή αληθινής γνώσης έφτασε μέχρις εμάς μέσω φιλοσόφων και μαθηματικών όπως ο Πλάτωνας, ο Πλωτίνος, ο Ιάμβλιχος και ο Πρόκλος (411 -485 μ.Χ.), και αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του Νεοπλατωνισμού, ο οποίος βρήκε αργότερα διάφορες εκφάνσεις στη Δυτική σκέψη.

Αφού μαθήτευσε στους Αιγυπτίους και στους Χαλδαίους, ο Πυθαγόρας εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα, σ' αυτό που τώρα είναι η νότια Ιταλία, όπου ίδρυσε σχολή. Αυτή η σχολή έμοιαζε περισσότερο με μυστική εταιρεία ή λατρεία, όπου ένα μέρος της γνώσης ήταν προνόμιο μόνο μερικών μυημένων εκλεκτών. Οι Πυθαγόρειοι ζούσαν κοινοβιακή ζωή με έναν πολύ αυστηρό κώδικα ηθικής και συμπεριφοράς, ο οποίος περιλάμβανε την πίστη στη μετεμψύχωση και αυστηρή προσήλωση στη χορτοφαγία.

Καθώς δεν άφησε γραπτά, δεν μπορούμε παρά να υποθέσουμε ποια μαθηματικά ευρήματα μπορούν να αποδοθούν στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Υπάρχουν πολύ συχνές αναφορές στους Πυθαγόρειους, κάτι που δείχνει ότι τα μέλη της σχολής του έπαψαν αργότερα να τηρούν την απαγόρευση δημοσίευσης των ευρημάτων τους, την οποία είχε επιβάλει ο δάσκαλος τους.

Μία από τις βασικές διδασκαλίες της σχολής του Πυθαγόρα ήταν ότι οι αριθμοί ήταν τα πάντα και ότι τίποτα δεν μπορούσε να νοηθεί ή να γνωσθεί χωρίς αυτούς. Ο πιο σημαντικός αριθμός γι' αυτούς ήταν το δέκα, ή τετρακτύς, γιατί ήταν το άθροισμα του 1+2+3+4, δηλαδή του αριθμού των σημείων που χρειάζονται για τη δημιουργία των διαστάσεων του σύμπαντος: το ένα είναι το αδιάστατο σημείο το οποίο γεννά τις άλλες διαστάσεις· δύο σημεία μπορούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν μία γραμμή, η οποία έχει μία διάσταση∙ τρία σημεία μπορούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν ένα δισδιάστατο τρίγωνο και τέσσερα σημεία μπορούν να ενωθούν για να φτιάξουν το τρισδιάστατο τετράεδρο. Η τετρακτύς έγινε το σύμβολο των Πυθαγορείων, οι οποίοι προχώρησαν πολύ περισσότερο από οποιοδήποτε προηγούμενο αριθμητικό μυστικισμό στην κατασκευή ενός σύμπαντος, στο οποίο οι αριθμοί είχαν και φιλοσοφικό και αποκαλυπτικό ρόλο.

Σε αυτούς επίσης αποδίδεται η αριθμητική ανάλυση της μουσικής, και εδώ η τετρακτύς συμβόλιζε τις βασικές αναλογίες ανάμεσα στις νότες, αρχίζοντας από τον λόγο 1:2 για την οκτάβα. Η όλη έννοια της αρμονίας των σφαιρών προέρχεται από αυτήν την αριθμολογία της μουσικής, η οποία έμελλε να επηρεάσει το πλανητικό μοντέλο του Κέπλερ παραπάνω από 2000 χρόνια αργότερα.

Ωστόσο, το όνομα του Πυθαγόρα είναι περισσότερο γνωστό από το ομώνυμο θεώρημα, που ήταν στην πραγματικότητα γνωστό από πολύ νωρίτερα. Θεωρείται ότι ο Πυθαγόρας έμαθε τον κανόνα αυτόν από τους Αιγυπτίους. Πράγματι, οι ελληνικές πηγές αναφέρονται συχνά στην Αίγυπτο ως τόπο προέλευσης των γεωμετρικών τους γνώσεων και είναι κρίμα που δεν έχουμε καθόλου αιγυπτιακές πηγές που να αποδεικνύουν τη γνώση του πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ο Αριστοτέλης αποδίδει στους Πυθαγόρειους την πρώτη απόδειξη ότι η √2 είναι άρρητη. Εάν πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με βάση και ύψος μήκους 1, τότε η υποτείνουσα θα είναι μήκους √2. Στη γλώσσα των ελληνικών μαθηματικών, οι Πυθαγόρειοι προσπαθούσαν να εκφράσουν το λόγο της υποτείνουσας προς το μοναδιαίο μήκος, ή √2:1 όπως θα γράφαμε σήμερα, ως λόγο ακεραίων. Αντίθετα από το τρίγωνο (3,4,5), στο οποίο ο λόγος οποιονδήποτε δύο πλευρών είναι λόγος ακεραίων αριθμών, αυτό δεν ήταν δυνατόν να επιτευχθεί με το συγκεκριμένο τρίγωνο. Η υποτείνουσα και η μοναδιαία πλευρά ήταν ασύμμετρες, εάν παίρναμε δηλαδή έναν διαβαθμισμένο χάρακα, τότε οι δύο πλευρές δεν θα μπορούσαν να μετρηθούν ακριβώς από αυτόν. Και δεδομένου ότι η μοναδιαία πλευρά είναι ρητή, τότε η υποτείνουσα είναι άρρητη σε σχέση με αυτή. Ο ιστορικός Διογένης λέει ότι αυτή η ανακάλυψη έγινε από τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, μέλος της Πυθαγόρειας σχολής, και ότι οι συνάδελφοι του τον πήγαν σηκωτό στη θάλασσα και τον πέταξαν στο νερό για να τον εκδικηθούν που κατέστρεψε την αντίληψη τους ότι τα πάντα μπορούσαν να εκφραστούν ως ακέραιοι αριθμοί ή αναλογίες ακεραίων. Αυτή η ιστορία θεωρείται σήμερα μάλλον υπερβολική, αλλά τόσο η σχέση ανάμεσα στα σύμμετρα και στα ασύμμετρα μήκη όσο και η σχέση μεταξύ των ρητών και των άρρητων αριθμών έχει πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά. Και όμως, για να φτάσουμε σε έναν ορισμό των αρρήτων συναρτήσει ρητών θα έπρεπε να περάσουν ακόμα 2000 χρόνια.

Το πυθαγόρειο θεώρημα σε αραβικό κείμενο. 
Η απόδειξη που δίδεται είναι εκείνη του Ευκλείδη.

Το πιο εντυπωσιακό στην ελληνική αντιμετώπιση του πυθαγόρειου θεωρήματος είναι η μέθοδος απόδειξης, που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη. Μία πολύ γενική γεωμετρική απόδειξη, που χρησιμοποιεί μία αλληλουχία κατασκευών, οι οποίες μεταμορφώνουν τα δύο μικρότερα τετράγωνα σε δύο ορθογώνια, που τοποθετούνται μαζί για να σχηματίσουν το μεγαλύτερο τετράγωνο. Παρουσιάζεται χωρίς καμία αναφορά σε αριθμητικές τιμές, και το χαρακτηριστικό διάγραμμα-«ανεμόμυλος», που συνοδεύει την απόδειξη βρίσκεται αργότερα στα μαθηματικά πολλών ευρασιανών πολιτισμών. Και πράγματι, ο Πρόκλος σχολίαζε ότι, «ενώ θαυμάζω αυτούς που πρώτα παρατήρησαν την ισχύ αυτού του θεωρήματος, θαυμάζω ακόμα περισσότερο τον συγγραφέα των Στοιχείων».

Ωστόσο, το όνομα που συνδέθηκε μ’ αυτό το θεώρημα είναι εκείνο του Πυθαγόρα και η έλξη την οποία ασκεί το πυθαγόρειο ιδανικό του μαθηματικού σύμπαντος εξακολουθεί να ζει.

Richard Mankiewicz, Η ιστορία των μαθηματικών 

Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, 2002 (σελ. 17-22)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου