Πυθαγόρας και Πυθαγόρειο Θεώρημα

Υπάρχει ένα μαθηματικό θεώρημα που σχεδόν όλοι το έχουμε δει στο σχολείο. Τώρα φέρει το όνομα του Πυθαγόρα, αλλά ήταν γνωστό στην αρχαιότητα πολύ πριν γεννηθεί ο Πυθαγόρας. […]

Το πυθαγόρειο θεώρημα: για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρών πλευρών ισούται με το τετράγωνο της μακρύτερης πλευράς. Είναι δυνατόν να σχηματιστούν τέτοια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Το πιο φημισμένο είναι το τρίγωνο με πλευρές μήκους 3,4 και 5 υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων πυθαγόρειων τριάδων, όπως ονομάζονται, π.χ. οι 5,12,13 και 7,24,25 οι οποίες ήταν ήδη γνωστές στην αρχαιότητα.

Ένα από τα πιο συναρπαστικά βαβυλωνιακά μαθηματικά κείμενα είναι η πινακίδα που είναι γνωστή τώρα με το όνομα Πλίμπτον 322 και φυλάσσεται στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης. Έχει 4 στήλες και 15 σειρές αριθμών και μοιάζει να είναι ατελής· μπορεί να είναι θραύσμα μεγαλύτερης πινακίδας. Είναι σήμερα γενικά αποδεκτό ότι αποτελεί έναν κατάλογο κλασματικών πυθαγόρειων τριάδων. Μία τέτοια λεπτή τεχνική πρέπει να σήμαινε ότι οι Βαβυλώνιοι καταλάβαιναν το πυθαγόρειο θεώρημα ήδη από την περίοδο 1800-1650 π.Χ., περισσότερο από 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα. 

Αυτή η ερμηνεία υποστηρίζεται και από μία ακόμα πινακίδα που βρέθηκε κοντά στη Βαβυλώνα και χρονολογείται από την ίδια εποχή, ένα από τα παλαιότερα παραδείγματα του θεωρήματος που είναι γνωστά σήμερα. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν τον κανόνα για γεωμετρικούς υπολογισμούς και για να βρίσκουν λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων, αν και αυτού του είδους η Άλγεβρα ήταν προφορική μάλλον παρά συμβολική. Κάποιοι υποστηρίζουν ότι οι Βαβυλώνιοι μπορεί να είχαν αναπτύξει μία πρώιμη μορφή τριγωνομετρίας. […]

Η βαβυλωνιακή πινακίδα που σήμερα είναι γνωστή με το
όνομα Πλίμπτον 322 είναι ένα από τα πιο καλά μελετημένα
μαθηματικά ευρήματα της αρχαιότητας. 

Και φτάνουμε τελικά στον μύθο που λέγεται Πυθαγόρας (περ. 580-500 π.Χ.). Ίσως δεν είναι τυχαίο ότι ο Πυθαγόρας ήταν σχεδόν σύγχρονος του Βούδα, του Κομφούκιου, του Μαχαβίρα, του Λάο Τσε και ίσως του Ζωροάστρη. Το μίγμα μαθηματικών και μυστικισμού που καλλιέργησε έχει απόηχους ακόμα και σήμερα, κυρίως μέσω της εξέλιξης του τον 3ο αι. π.Χ., του Νεοπλατωνισμού. Ο πραγματικός Πυθαγόρας παραμένει άγνωστος.

Οι αναφορές σ' αυτόν είναι συχνότατα προκατειλημμένες, και ακόμα και ο Αριστοτέλης, λιγότερο από 200 χρόνια αργότερα, δεν καταφέρνει να μας δώσει μία καθαρή εικόνα γι' αυτόν. Το σημαντικό στον Πυθαγόρα και στους οπαδούς του είναι η μαθηματική τους φιλοσοφία. Η πεποίθηση τους ότι τα μαθηματικά είναι η μία και μοναδική πηγή αληθινής γνώσης έφτασε μέχρις εμάς μέσω φιλοσόφων και μαθηματικών όπως ο Πλάτωνας, ο Πλωτίνος, ο Ιάμβλιχος και ο Πρόκλος (411 -485 μ.Χ.), και αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του Νεοπλατωνισμού, ο οποίος βρήκε αργότερα διάφορες εκφάνσεις στη Δυτική σκέψη.

Αφού μαθήτευσε στους Αιγυπτίους και στους Χαλδαίους, ο Πυθαγόρας εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα, σ' αυτό που τώρα είναι η νότια Ιταλία, όπου ίδρυσε σχολή. Αυτή η σχολή έμοιαζε περισσότερο με μυστική εταιρεία ή λατρεία, όπου ένα μέρος της γνώσης ήταν προνόμιο μόνο μερικών μυημένων εκλεκτών. Οι Πυθαγόρειοι ζούσαν κοινοβιακή ζωή με έναν πολύ αυστηρό κώδικα ηθικής και συμπεριφοράς, ο οποίος περιλάμβανε την πίστη στη μετεμψύχωση και αυστηρή προσήλωση στη χορτοφαγία.

Καθώς δεν άφησε γραπτά, δεν μπορούμε παρά να υποθέσουμε ποια μαθηματικά ευρήματα μπορούν να αποδοθούν στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Υπάρχουν πολύ συχνές αναφορές στους Πυθαγόρειους, κάτι που δείχνει ότι τα μέλη της σχολής του έπαψαν αργότερα να τηρούν την απαγόρευση δημοσίευσης των ευρημάτων τους, την οποία είχε επιβάλει ο δάσκαλος τους.

Μία από τις βασικές διδασκαλίες της σχολής του Πυθαγόρα ήταν ότι οι αριθμοί ήταν τα πάντα και ότι τίποτα δεν μπορούσε να νοηθεί ή να γνωσθεί χωρίς αυτούς. Ο πιο σημαντικός αριθμός γι' αυτούς ήταν το δέκα, ή τετρακτύς, γιατί ήταν το άθροισμα του 1+2+3+4, δηλαδή του αριθμού των σημείων που χρειάζονται για τη δημιουργία των διαστάσεων του σύμπαντος: το ένα είναι το αδιάστατο σημείο το οποίο γεννά τις άλλες διαστάσεις· δύο σημεία μπορούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν μία γραμμή, η οποία έχει μία διάσταση∙ τρία σημεία μπορούν να ενωθούν για να δημιουργήσουν ένα δισδιάστατο τρίγωνο και τέσσερα σημεία μπορούν να ενωθούν για να φτιάξουν το τρισδιάστατο τετράεδρο. Η τετρακτύς έγινε το σύμβολο των Πυθαγορείων, οι οποίοι προχώρησαν πολύ περισσότερο από οποιοδήποτε προηγούμενο αριθμητικό μυστικισμό στην κατασκευή ενός σύμπαντος, στο οποίο οι αριθμοί είχαν και φιλοσοφικό και αποκαλυπτικό ρόλο.

Σε αυτούς επίσης αποδίδεται η αριθμητική ανάλυση της μουσικής, και εδώ η τετρακτύς συμβόλιζε τις βασικές αναλογίες ανάμεσα στις νότες, αρχίζοντας από τον λόγο 1:2 για την οκτάβα. Η όλη έννοια της αρμονίας των σφαιρών προέρχεται από αυτήν την αριθμολογία της μουσικής, η οποία έμελλε να επηρεάσει το πλανητικό μοντέλο του Κέπλερ παραπάνω από 2000 χρόνια αργότερα.

Ωστόσο, το όνομα του Πυθαγόρα είναι περισσότερο γνωστό από το ομώνυμο θεώρημα, που ήταν στην πραγματικότητα γνωστό από πολύ νωρίτερα. Θεωρείται ότι ο Πυθαγόρας έμαθε τον κανόνα αυτόν από τους Αιγυπτίους. Πράγματι, οι ελληνικές πηγές αναφέρονται συχνά στην Αίγυπτο ως τόπο προέλευσης των γεωμετρικών τους γνώσεων και είναι κρίμα που δεν έχουμε καθόλου αιγυπτιακές πηγές που να αποδεικνύουν τη γνώση του πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ο Αριστοτέλης αποδίδει στους Πυθαγόρειους την πρώτη απόδειξη ότι η √2 είναι άρρητη. Εάν πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με βάση και ύψος μήκους 1, τότε η υποτείνουσα θα είναι μήκους √2. Στη γλώσσα των ελληνικών μαθηματικών, οι Πυθαγόρειοι προσπαθούσαν να εκφράσουν το λόγο της υποτείνουσας προς το μοναδιαίο μήκος, ή √2:1 όπως θα γράφαμε σήμερα, ως λόγο ακεραίων. Αντίθετα από το τρίγωνο (3,4,5), στο οποίο ο λόγος οποιονδήποτε δύο πλευρών είναι λόγος ακεραίων αριθμών, αυτό δεν ήταν δυνατόν να επιτευχθεί με το συγκεκριμένο τρίγωνο. Η υποτείνουσα και η μοναδιαία πλευρά ήταν ασύμμετρες, εάν παίρναμε δηλαδή έναν διαβαθμισμένο χάρακα, τότε οι δύο πλευρές δεν θα μπορούσαν να μετρηθούν ακριβώς από αυτόν. Και δεδομένου ότι η μοναδιαία πλευρά είναι ρητή, τότε η υποτείνουσα είναι άρρητη σε σχέση με αυτή. Ο ιστορικός Διογένης λέει ότι αυτή η ανακάλυψη έγινε από τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, μέλος της Πυθαγόρειας σχολής, και ότι οι συνάδελφοι του τον πήγαν σηκωτό στη θάλασσα και τον πέταξαν στο νερό για να τον εκδικηθούν που κατέστρεψε την αντίληψη τους ότι τα πάντα μπορούσαν να εκφραστούν ως ακέραιοι αριθμοί ή αναλογίες ακεραίων. Αυτή η ιστορία θεωρείται σήμερα μάλλον υπερβολική, αλλά τόσο η σχέση ανάμεσα στα σύμμετρα και στα ασύμμετρα μήκη όσο και η σχέση μεταξύ των ρητών και των άρρητων αριθμών έχει πολύ μεγάλη σημασία στα μαθηματικά. Και όμως, για να φτάσουμε σε έναν ορισμό των αρρήτων συναρτήσει ρητών θα έπρεπε να περάσουν ακόμα 2000 χρόνια.

Το πυθαγόρειο θεώρημα σε αραβικό κείμενο. 

Η απόδειξη που δίδεται είναι εκείνη του Ευκλείδη.

Το πιο εντυπωσιακό στην ελληνική αντιμετώπιση του πυθαγόρειου θεωρήματος είναι η μέθοδος απόδειξης, που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη. Μία πολύ γενική γεωμετρική απόδειξη, που χρησιμοποιεί μία αλληλουχία κατασκευών, οι οποίες μεταμορφώνουν τα δύο μικρότερα τετράγωνα σε δύο ορθογώνια, που τοποθετούνται μαζί για να σχηματίσουν το μεγαλύτερο τετράγωνο. Παρουσιάζεται χωρίς καμία αναφορά σε αριθμητικές τιμές, και το χαρακτηριστικό διάγραμμα-«ανεμόμυλος», που συνοδεύει την απόδειξη βρίσκεται αργότερα στα μαθηματικά πολλών ευρασιανών πολιτισμών. Και πράγματι, ο Πρόκλος σχολίαζε ότι, «ενώ θαυμάζω αυτούς που πρώτα παρατήρησαν την ισχύ αυτού του θεωρήματος, θαυμάζω ακόμα περισσότερο τον συγγραφέα των Στοιχείων».

Ωστόσο, το όνομα που συνδέθηκε μ’ αυτό το θεώρημα είναι εκείνο του Πυθαγόρα και η έλξη την οποία ασκεί το πυθαγόρειο ιδανικό του μαθηματικού σύμπαντος εξακολουθεί να ζει.

Richard Mankiewicz, Η ιστορία των μαθηματικών 

Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, 2002 (σελ. 17-22)

Η Πυθαγόρεια Φιλία

Ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που ανακάλυψε το συμπαντικό νόμο της αλληλεξάρτησης και της αμοιβαίας έλξης, για τον οποίο χρησιμοποίησε τον απλό όρο φιλία. Η φιλία είναι η παγκόσμια δύναμη που έλκει όλα τα στοιχεία της Φύσης σε αρμονικές σχέσεις. Βοηθά να διατηρείται η τάξη των πλανητών καθώς αυτοί κινούνται στο στερέωμα και ενθαρρύνει τους άντρες και τις γυναίκες, αφού καθαρθούν οι ψυχές τους, να βοηθήσουν ο ένας τον άλλον.

Κάθε άτομο έχει μια ευθύνη, δίδασκε ο Πυθαγόρας, να παρατηρεί το νόμο της φιλίας σε κάθε άποψη της ζωής. Οι μαθητές του καλλιεργούσαν τη φιλία μεταξύ των θεών και των ανθρώπων, για παράδειγμα, μέσα από αναίμακτες θυσίες και άλλες τελετές, και αυτήν μεταξύ του σώματος και των τριών μερών της ψυχής μέσα από τη φιλοσοφική έρευνα. Τη φιλία μεταξύ των πολιτών και μεταξύ των κρατών τη διατηρούσαν μέσα από νόμους και συνθήκες, και αυτήν ανάμεσα σε σύζυγο, γυναίκα, παιδιά και γείτονες μέσα από μια αναγνώριση του κοινού τους σκοπού.

Ο Πυθαγόρας θεωρούσε όλους όσους ενστερνίζονταν αυτόν τον τρόπο ζωής φίλους και συντρόφους. Τους αγαπούσε και δίδασκε στους μαθητές του να κάνουν το ίδιο μέσα από επιγραμματικές φράσεις όπως «Τα αγαθά των φίλων είναι κοινά» και «Ο φίλος μου είναι το άλλο μου μισό». Όσο οι φίλοι του ήταν υγιείς, αντλούσε ευχαρίστηση από τη συντροφιά τους και από τη συζήτηση μαζί τους. Αν αρρώσταιναν, τους περιέθαλπε. Αν ήταν αποθαρρυμένοι ή στενοχωρημένοι, τους παρηγορούσε με τραγούδια και ψαλμωδίες. Τόσο γνωστοί ήταν οι μαθητές του για την φροντίδα του ενός προς τον άλλον, που μέχρι την εποχή του Χριστιανισμού οι Έλληνες αποκαλούσαν κάθε άτομο εξαιρετικής ευγένειας «Πυθαγόρειο».

Ο Πυθαγόρας δίδασκε ότι η αντιζηλία και, πάνω απ’ όλα, ο θυμός πρέπει να εκλείπουν από τη φιλία. Η κριτική έπρεπε να ασκείται μόνο από τους μεγαλύτερους προς τους νεότερους, πάντα με προσοχή και με καθαρή πρόθεση. Επίσης, η εμπιστοσύνη ενός φίλου δεν έπρεπε ποτέ να βεβηλώνεται, ούτε ακόμη για αστεία, διότι αν γινόταν αυτό μια φορά, δεν θα μπορούσε ποτέ να επανορθωθεί.

Το ότι ο Πυθαγόρας τιμούσε τόσο πολύ τη φιλία φαίνεται από την ακόλουθη ιστορία. Ο Φιντίας, ένας πυθαγόρειος από τις Συρακούσες, γνωστός για τον καλό του χαρακτήρα, κατηγορήθηκε ότι συνωμότησε στην απόπειρα δολοφονίας του τυρράννου Διονυσίου. Οι πολιτικοί αντίπαλοι συσπειρώθηκαν για να φέρουν ψευδείς αποδείξεις εναντίον του. Ο Διονύσιος είχε συλλάβει τον Φιντία, ισχυρίστηκε ότι είχε αδιάτρητες αποδείξεις για την εγκληματική του ενέργεια και τον καταδίκασε σε θάνατο. Ο Φιντίας αποκρίθηκε ότι η εκτέλεσή του ήταν αναπόφευκτη και θα εκτιμούσε, ως τελευταίο αίτημα, αν του δινόταν άδεια για το υπόλοιπο της ημέρας έτσι ώστε να τακτοποιήσει τις υποθέσεις του. Πρότεινε ως εγγυητή το φίλο του Δάμωνα, έναν Πυθαγόρειο, με τον οποίο είχε ζήσει και μοιραστεί τα πάντα.     

Ο Διονύσιος εξεπλάγη από αυτό το αίτημα και ρώτησε γιατί ο Δάμωνας ή οποιοσδήποτε άλλος θα ήταν πρόθυμος να δεχτεί να φυλακιστεί, με την πιθανότητα να εκτελεστεί στη θέση κάποιου άλλου. Ο Φιντίας τον διαβεβαίωσε ότι θα το έκανε, και ο Δάμωνας ήρθε. Μόλις έμαθε την κατάσταση, αμέσως συμφώνησε να παραμείνει υπό φρούρηση μέχρι να ταχτοποιήσει ο Φιντίας τις υποθέσεις του.

Καθώς η μέρα περνούσε, οι εχθροί του Φιντία προσπάθησαν να αποθαρρύνουν τον φυλακισμένο τους λέγοντας ότι ο φίλος του είχε φύγει απ’ την πόλη, ο Δάμωνας όμως έμενε ανεπηρέαστος. Τότε, καθώς πλησίαζε η δύση του ήλιου, ο Φιντίας ήρθε για να πεθάνει. Ο Διόνυσος ένιωσε τόση κατάπληξη από αυτή την επίδειξη απίστευτης αφοσίωσης που αγκάλιασε τους δύο άνδρες και, αφού ελευθέρωσε τον Φιντία, ρώτησε αν θα μπορούσε να γίνει δεκτός ως τρίτο μέλος στη φιλία τους. Εκείνοι… αρνήθηκαν το αίτημά του και επέστρεψαν σπίτι σώοι.

Κάποια άλλη αρχαία ιστορία δείχνει πως οι Πυθαγόρειοι συμπεριφέρονταν ιδιαίτερα φιλικά στους άλλους της ομάδας τους, ακόμα και αν αυτοί ήταν ξένοι.

Καθώς έκανε ένα μακρύ ταξίδι, μόνος και πεζός, ένας Πυθαγόρειος σταμάτησε σ’ ένα πανδοχείο, όπου έπεσε βαριά άρρωστος και για πολύ καιρό. Τελικά ξόδεψε όλα τα χρήματά που είχε, αλλά ο πανδοχέας, όχι μόνο από ευγένεια, τον φρόντισε και του παρείχε οτιδήποτε χρειαζόταν. Συνειδητοποιώντας ότι επρόκειτο να πεθάνει, ο Πυθαγόρειος σχεδίασε μια εικόνα της Τετρακτύος σε μια πλάκα και ζήτησε απ’ τον πανδοχέα, σε περίπτωση που πεθάνει, να την κρεμάσει έξω κοντά στο δρόμο. «Κάθε άτομο που αναγνωρίζει αυτό το σύμβολο», είπε, «θα σου ξεπληρώσει όλη τη βοήθεια που μου προσέφερες».

Ο Πυθαγόρειος πέθανε λίγο μετά και ο πανδοχέας ανέλαβε τις λεπτομέρειες της κηδείας του χωρίς καμία προσδοκία ανταλλάγματος. Από σεβασμό προς το αίτημα του νεκρού, τοποθέτησε το σύμβολο έξω από το πανδοχείο του παράλληλα προς το δημόσιο δρόμο.

Πέρασαν πολλά χρόνια, ώσπου μια μέρα έτυχε να περάσει από αυτόν τον δρόμο κάποιος άλλος Πυθαγόρειος. Μόλις είδε το σύμβολο αμέσως κατάλαβε και πήγε στον πανδοχέα για να μάθει ποιος είχε τοποθετήσει την πλάκα εκεί. Όταν έμαθε τι είχε συμβεί, πλήρωσε τον ξενοδόχο γενναιόδωρα, με ποσό πολύ μεγαλύτερο από αυτό που ο τελευταίος είχε ξοδέψει.

Υπάρχουν πολλά τέτοια παραδείγματα για την πυθαγόρεια φιλία, που δείχνουν τις λειτουργίες ενός συμπαντικού νόμου που όχι μόνο οδηγεί τους άντρες και τις γυναίκες να υπηρετούν ο ένας τον άλλον, αλλά επίσης ενώνει πλανήτη με πλανήτη και τον ουρανό με τη Γη. «Κανείς δεν θα βρει», δίδασκε ο Πυθαγόρας, «ούτε σε λέξεις ούτε σε τρόπους ζωής τίποτε τελειότερο από αυτό».

John Strohmeier & Peter Westbrook, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ: Η Ζωή και η Διδασκαλία του

(Εκδόσεις Αρχέτυπο, σελ. 50-53)

Η χρυσή αναλογία

Η κινηματογραφική ταινία "Pi", ή "π", αποτελεί το σκηνοθετικό ντεμπούτο για τον Darren Aronofsky.

Ο Μαξ Κοέν (Sean Gullette), μια μαθηματική ιδιοφυία, πιστεύει πως τα πάντα στην ζωή μπορούν να εξηγηθούν μέσω μαθηματικών μοντέλων και αριθμών. Προσπαθεί να βρει το μοντέλο που διέπει την χρηματιστηριακή αγορά, όταν στο δρόμο μου εμφανίζονται μια εταιρεία, που θέλει αυτό το μοντέλο πρόβλεψης των μετοχών, και μια φανατική οργάνωση Εβραίων, που ασχολείται με την αριθμολογία και πιστεύει ότι το μυστικό του Θεού βρίσκεται σε μία λέξη. Ο Μαξ βυθίζεται όλο και βαθύτερα στην εμμονή του να εξηγήσει το π και ο μόνος άνθρωπος που τον κρατά σε επαφή με την πραγματικότητα είναι ο πρώην καθηγητής του (Mark Margolis). 

Στο απόσπασμα που ακολουθεί παρακολουθούμε τις αναφορές του Μαξ, στον Πυθαγόρα και στον Λεονάρντο Ντα Βίντσι και στη χρυσή αναλογία:

Θυμάσαι τον Πυθαγόρα; Μαθηματικός, θρησκευτικός αρχηγός. 500 π.Χ. Βασική θεωρία: το σύμπαν αποτελείται από αριθμούς. Μεγαλύτερο επίτευγμα: η χρυσή αναλογία. Εκφράστηκε γεωμετρικά με το χρυσό ορθογώνιο (στους υπότιτλους αναφέρεται τρίγωνο). Υπάρχει μια αρμονική, οπτικά, σχέση μεταξύ μήκους και πλάτους. Όταν τετραγωνιστεί, μένει ένα μικρό ορθογώνιο με την ίδια μοναδική αναλογία. Ο τετραγωνισμός συνεχίζεται … μέχρι το άπειρο.

Θυμήσου τον Ντα Βίντσι. Ζωγράφος, εφευρέτης, γλύπτης. Ιταλία, 15^ος αιώνας. Ανακάλυψε ξανά το χρυσό ορθογώνιο και σχεδίασε αριστουργήματα. Συνέδεσε με μια καμπύλη αυτά τα ομόκεντρα ορθογώνια και δημιούργησε τη μυθική χρυσή σπείρα. Ο Πυθαγόρας λάτρευε αυτό το σχήμα, υπήρχε παντού. Στο κοχύλι, στα κέρατα του κριαριού, στη δίνη, στον ανεμοστρόβιλο, στο DNA, στα αποτυπώματα. Ακόμα και στο γαλαξία μας.

Ο τρόπος επιλογής των μαθητών του Πυθαγόρα

Να πως δοκίμαζε τους υποψηφίους.

Πρώτα βεβαιωνόταν αν ο υποψήφιος μπορούσε «να κρατήσει τη γλώσσα του», αυτόν ακριβώς τον όρο χρησιμοποιούσε. Μπορούσε να σωπάσει και να κρατήσει για τον εαυτό του αυτά που άκουγε την ώρα της διδασκαλίας; Σε πρώτη φάση, όπως καταλαβαίνετε, τον ενδιέφερε πολύ περισσότερο η σιωπή του παρά τα λόγια του.

Η αίθουσα διδασκαλίας ήταν χωρισμένη στα δύο από μια κουρτίνα. Ο Πυθαγόρας βρισκόταν από τη μία μεριά, οι υποψήφιοι από την άλλη. Δεν είχαν πρόσβαση στη διδασκαλία παρά μονάχα με το αυτί. Άκουγαν, αλλά δεν έβλεπαν. Η δοκιμασία κρατούσε πέντε χρόνια! […]

Η κουρτίνα είχε ιδιαίτερη σημασία στη ζωή της σχολής του Πυθαγόρα. Το να τη διασχίσει κανείς, σήμαινε ότι είχε περάσει με επιτυχία τη δοκιμασία. Τα μέλη της Σχολής ήταν χωρισμένα σε δύο κατηγορίες, ανάλογα με την πλευρά της κουρτίνας που βρισκόντουσαν. Στο εξωτερικό του χώρου όπου βρισκόταν ο Πυθαγόρας, οι εξωτερικοί … Στο εσωτερικό, και για να μείνουν την υπόλοιπη ζωή τους, οι εσωτερικοί. Μόνον αυτοί μπορούσαν να ακούσουν τον Πυθαγόρα ΚΑΙ να τον δουν! […]

Τα κείμενα των Πυθαγορείων ήταν και αυτά απόρρητα Γραμμένα σε διπλή γλώσσα, επιδέχονταν δύο επίπεδα ερμηνείας. Ένα, κατανοητό από όλον τον κόσμο, και το άλλο μόνο για τους μυημένους. Οι Πυθαγόρειοι, αναφέρονταν σε σύμβολα και σε αινίγματα. […]

Οι περισσότερες γνώσεις μεταδίδονται προφορικά: Αυτός ο τρόπος μετάδοσης δημιούργησε έναν δεύτερο τρόπο διαχωρισμού των μαθητών. Αφενός οι ακουσματικοί, στους οποίους ανακοίνωναν τα συμπεράσματα αλλά όχι και τις αποδείξεις που οδηγούσαν σ’ αυτά. Και αφετέρου οι μαθηματικοί, που μάθαιναν και τα συμπεράσματα και τις αποδείξεις. […]

Όλα τα μέρη της σχολής έπρεπε να ασκήσουν τη μνήμη τους […] Το πρωί πριν σηκωθεί από το κρεβάτι, ο Πυθαγόρειος έπρεπε να ανακαλέσει στη μνήμη του όλα τα γεγονότα της προηγούμενης μέρας. Προσπαθούσε να θυμηθεί όσα είχε δει, όσα είχε πει, όσα είχε κάνει, όσους είχε συναντήσει […]

Καθένας που παρουσιαζόταν στη σχολή για να γίνει μέλος, παρέδιδε όλα τα υπάρχοντα του στην κοινότητα […] Όποιος δεν γινόταν δεκτός, εισέπραττε κατά την αναχώρησή του το διπλάσιο των αγαθών που είχε καταθέσει. […]

Του έδιναν σε χρήμα αυτό που δεν είχε μπορέσει να πάρει σε γνώση […] αλλά μόλις ανακοινωνόταν η αποπομπή του του έσκαβαν ένα τάφο. […]

Ο θάνατος ήταν συμβολικός, αλλά ο τάφος πραγματικός. Κάποιος που θα ανακάλυπτε τον τάφο μπορούσε καλόπιστα να πιστέψει ότι αυτός στον οποίο ανήκε ήταν πράγματι νεκρός.

Ντενί Γκετζ, Το θεώρημα του παπαγάλου

(ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΛΙΣ, 1999, σελ. 148, 152)

Τι είναι φίλος

[…] Με την ευκαιρία, σου είπα τι με είχε «τραβήξει» στον Πυθαγόρα; Αυτός ανακάλυψε τη λέξη φιλία. Το ήξερες; Όταν τον ρώτησαν τι είναι φίλος, απάντησε:

«Αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός, όπως το 220 και το 284».

Δύο αριθμοί είναι «φίλιοι» ή «φιλικοί», αν ο καθένας ισούται με το άθροισμα όσων μετρούν (δηλαδή διαιρούν) τον άλλο. Οι πιο διάσημοι φίλιοι αριθμοί του Πυθαγόρειου Πανθέου είναι οι 220 και 284. κάνουν ένα ταιριαστό ζευγάρι. […] Αν έχεις καιρό, επαλήθευσέ το. […]

Με λύσσα, έσβηνε και ξανάρχιζε. Στο τέλος, ανάμεσα σε μουντζούρες, διαγραφές και διορθώσεις κατέληξε:

Διαιρέτες του 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

Διαιρέτες του 284: 1, 2, 4, 71, 142.

Άθροισμα των διαιρετών του 220; Άρχισε να προσθέτει […] Στο τέλος βρήκε το αποτέλεσμα 284! […]

Άθροισμα των διαιρετών του 284; […] 220!

Ένα πλατύ χαμόγελο φώτισε το πρόσωπό του! «Ιδού, το επαλήθευσα. Πρόκειται για φίλους!»

Ντενί Γκετζ, Το θεώρημα του παπαγάλου

(ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΛΙΣ, 1999, σελ. 118,122)

*

Φίλοι αριθμοί

O Ιάμβλιχος εις την πραγματείαν του Περί της Νικόμαχου Αριθμητικής Εισαγωγής σελ. 35, 6, λέγει, ότι ο Πυθαγόρας, όταν τις τον ηρώτησε «τί έστι φίλος» είπεν «έτερος εγώ». Εκ της γνώμης αυτής του Πυθαγόρου εδόθη αφορμή και ευρέθησαν υπό των Πυθαγορείων οι αριθμοί, οι όποιοι καλούνται φίλοι αριθμοί. Καλούνται δε δύο αριθμοί φίλοι,  προσθέτει ο Ιάμβλιχος, όταν το άθροισμα όλων των πηλίκων του πρώτου ισούται με τον δεύτερον αριθμόν και το άθροισμα όλων των πηλίκων του δευτέρου ισούται με τον πρώτον αριθμόν. Οι δύο αριθμοί π.χ. 220 και 284 είναι φίλοι αριθμοί, διότι:

Ευάγγελου Σταμάτη, Ελληνικά Μαθηματικά

[Μορφωτικαί εκδόσεις, 1979, σελ. 53-54]