Πολεμικά παιχνίδια

Οι άνθρωποι πάντα έπαιζαν και η κάθε εποχή είχε το δικό της αγαπημένο παιχνίδι. Τα περισσότερα είναι μίγμα επιδεξιότητας και τύχης, και πραγματικά καλός παίκτης είναι εκείνος που μετά από πολλά διαδοχικά παιχνίδια και σκαμπανεβάσματα της τύχης καταφέρνει να βγει αλώβητος. Υπάρχουν όμως μερικά παιχνίδια που αφήνουν ελάχιστα πράγματα στην τύχη - δεν έχουν ούτε ζάρια ούτε κρυφά χαρτιά. Αυτά είναι όσα βασίζονται στην καθαρή στρατηγική και η μελέτη τους είναι το αντικείμενο της θεωρίας των παιγνίων. Υπάρχουν επίσης άλλα που είναι κυριολεκτικά θέμα ζωής ή θανάτου. Καθώς τα σφάλματα τακτικής κοστίζουν λιγότερο σε ένα εικονικό πεδίο μάχης, οι διάφοροι στρατηγικοί εγκέφαλοι πάντα κατέφευγαν σε παιχνίδια πολέμου για να ασκήσουν τις δεξιότητες τους. Δεν είναι ίσως τυχαίο ότι το σκάκι και το γιαπωνέζικο γκο είναι στην ουσία εξιδανικευμένα παιχνίδια πολέμου. Δεν είναι επίσης περίεργο που η πρώτη πρακτική εφαρμογή της θεωρίας των παιγνίων έγινε στην ανάλυση ενός νέου είδους πολέμου, που θα μπορούσε να είναι ο τελευταίος.

Τον 19ο αι. οι Πρώσοι επινόησαν ένα παιχνίδι που λεγόταν Kriegspiel, κυριολεκτικά «παιχνίδι πολέμου». Παιζόταν σε μία σκακιέρα και ήταν καθαρά θέμα τακτικής. Με τον καιρό έγινε πιο ρεαλιστικό και απέκτησε και έναν διαιτητή ο οποίος αποφάσιζε σε περιπτώσεις κρίσεων με τη βοήθεια πινάκων δεδομένων από πραγματικές μάχες. Οι στρατιωτικές επιτυχίες του πρωσικού στρατού αποδίδονταν κυρίως στην υψηλού επιπέδου στρατηγική του, η οποία αναπτύχθηκε μέσα από προσομοιώσεις Kriegspiel. Το παιχνίδι διαδόθηκε σε άλλες χώρες, όπως επίσης στην Αμερική και την Ιαπωνία. Η ήττα της Γερμανίας στον Α' Παγκόσμιο Πόλεμο έθεσε απότομο τέρμα στη μυθοποίηση των αποτελεσμάτων του παιχνιδιού. Άρχισε να γίνεται φανερό ότι η γρήγορη εξέλιξη των καινούργιων όπλων και των συστημάτων εφοδιασμού σήμαινε ότι ολόκληρη η βάση της στρατιωτικής στρατηγικής έπρεπε να αναθεωρηθεί. Έτσι οι στρατιωτικοί είχαν ανάγκη τους μαθηματικούς και τους επιστήμονες, όχι μόνο για να αναπτύξουν στρατιωτική υποδομή αλλά και για συμβουλές στρατιωτικής φύσεως - που μέχρι τώρα ήταν αποκλειστικά δουλειά στρατηγών με πολύ μεγάλες γνώσεις στρατιωτικής ιστορίας. Αυτό έγινε ιδιαίτερα αισθητό μετά από τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο, οπότε η συνείδηση ότι οι υπερδυνάμεις κατείχαν όπλα μαζικής καταστροφής άλλαξε εντελώς τους κανόνες της στρατιωτικής αναμέτρησης. Τα επιτραπέζια παιχνίδια με φιγούρες ιππικού και πυροβολικού έμοιαζαν πια προϊστορικά.

Όμως τα στρατιωτικά παιχνίδια εξακολούθησαν να αναλύονται μαθηματικά με την ελπίδα να προκύψουν θεωρίες πρακτικά εφαρμόσιμες. Ο Εμίλ Μπορέλ, Γάλλος μαθηματικός και υπουργός ναυτιλίας στη δεκαετία του '20, έγραψε τη Θεωρία των παιγνίων του, στην οποία ανέλυε πράγματα όπως η μπλόφα στο πόκερ και η εφαρμογή των μαθηματικών των παιγνίων στην οικονομία και στην πολιτική. Η επιρροή του Μπορέλ φαίνεται στο σημαντικό βιβλίο Θεωρία παιγνίων και οικονομική συμπεριφορά που εκδόθηκε το 1944 γραμμένο από έναν Ούγγρο μαθηματικό τον Τζων φον Νόυμαν και έναν αυστριακό οικονομολόγο, τον Όσκαρ Μόργκενστερν, που και οι δύο ήταν καθηγητές τότε στο Πρίνστον. Παρουσίαζαν τη θεωρία των παιγνίων σαν ένα πιθανό μοντέλο οικονομικής αλληλεπίδρασης. Ο οικονομολόγοι άργησαν να αφομοιώσουν αυτή την καινούργια θεωρία, η οποία στην πρώτη της εκδοχή είχε περισσότερη σχέση με τη στρατιωτική στρατηγική.

Ο Γιάνος φον Νόυμαν (1903-57), αργότερα γνωστότερος ως Τζων φον Νόυμαν, γεννήθηκε στη Βουδαπέστη και έδειξε από νωρίς τεράστιες μαθηματικές ικανότητες. Το 1921 κέρδισε μία από τις λίγες θέσεις που υπήρχαν για Εβραίους στο Πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης, απ’ όπου πήρε διδακτορικό το 1926 με μία εργασία για τη θεωρία των παιγνίων, αν και δεν είχε παρακολουθήσει ούτε μία παράδοση. Στο μεταξύ έζησε στο Βερολίνο και τη Ζυρίχη μελετώντας χημεία, το αγαπημένο αντικείμενο σπουδών του πατέρα του, ενώ παράλληλα συνέχιζε τις μαθηματικές του σπουδές με μαθηματικούς όπως ο Χέρμαν Βάιλ και ο Τζωρτζ Πόλυα. Αργότερα σπούδασε με τον Ντάβιντ Χίλμπερτ στο Γκαίτινγκεν. Το 1930 πήγε στο Πρίνστον και το 1933 έγινε ένας από τους πέντε πρώτους μαθηματικούς που έγιναν μέλη του νεοϊδρυθέντος Ινστιτούτου Ανωτέρων Σπουδών, όπου και θα περνούσε την υπόλοιπη ζωή του. Παραιτήθηκε από τις θέσεις του στη Γερμανία όταν ανέλαβαν την εξουσία οι Ναζί και αποφάσισε να εγκατασταθεί στην Αμερική, όχι σαν πρόσφυγας αλλά επειδή θεωρούσε ότι εκεί υπήρχαν περισσότερες ευκαιρίες. Από το 1940 κατείχε διάφορες θέσεις συμβούλου κυρίως σε στρατιωτικά θέματα, δούλεψε στο Λος Άλαμος στον τομέα της κβαντικής μηχανικής για την παραγωγή της ατομικής βόμβας και το 1955 διορίστηκε στην Επιτροπή Ατομικής Ενέργειας. Από την εποχή της Ζυρίχης, ο Πόλυα αφηγείται ότι, «ο Τζόνυ ήταν ο μόνος φοιτητής που πραγματικά φοβόμουν. Αν στη διάρκεια της παράδοσης ανέφερα κάποιο από τα πολλά άλυτα προβλήματα των μαθηματικών, ήταν πολύ πιθανό, μόλις τελείωνε το μάθημα, να ερχόταν να με βρει ο φον Νόυμαν με έτοιμη τη λύση γραμμένη πρόχειρα πάνω σε ένα κομμάτι χαρτί». Πέθανε το 1957 από καρκίνο και οι φίλοι του αφηγούνται ότι ο μεγάλος του καημός ήταν ότι έχανε τις πνευματικές του ικανότητες μετά από μία ολόκληρη ζωή που προσπαθούσε να τις καλλιεργήσει. Οι πιο αξιομνημόνευτες εργασίες του είναι οι σχετικές με τη θεωρία των παιγνίων, την κβαντική μηχανική και τους υπολογιστές.

Ο απλούστερος τύπος παιχνιδιού είναι το παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος για δύο παίκτες και δύο στρατηγικές - ένα παιχνίδι στο οποίο δύο απόλυτα λογικοί παίκτες παίζουν με σκοπό να κερδίσουν, οπότε το σύνολο του κέρδους είναι Ο, δηλαδή ό,τι κερδίζει ένας παίκτης το χάνει ο άλλος. Ένα διασκεδαστικό παράδειγμα είναι γνωστό ως το παιχνίδι «μοίρασμα του κέικ». Ένα κοινό σενάριο σε πολλά νοικοκυριά είναι η διαίρεση ενός κέικ ανάμεσα σε δύο παιδιά, ώστε κανένα από τα δύο να μην νιώθει ότι το άλλο έχει πάρει μεγαλύτερο κομμάτι. Η λύση είναι μία διαδικασία δύο βημάτων: το ένα παιδί κόβει το κέικ στη μέση και το δεύτερο επιλέγει πρώτο το κομμάτι του. Και τα δύο παιδιά θα θέλανε το μεγαλύτερο κομμάτι, αλλά βλέποντας λογικά ότι το κάθε παιδί αναγνωρίζει τη λαιμαργία του άλλου, υπάρχει μία βέλτιστη λύση. Το πρώτο παιδί πρέπει να κόψει το κέικ με τον πιο δίκαιο τρόπο που μπορεί, γιατί εάν το ένα κομμάτι είναι πολύ μεγαλύτερο, τότε το δεύτερο παιδί αναμφίβολα θα διαλέξει αυτό. Η αποκαλούμενη θεωρία ελαχίστου-μεγίστου (minimax) που ανέπτυξε ο φον Νόυμαν λέει ότι υπάρχει ένα «σημείο αυχένα» ή βέλτιστη λύση, όπου και οι δύο παίκτες θα είναι εξίσου ικανοποιημένοι. Η θεωρία επεκτάθηκε για να περιλάβει πάνω από δύο παίκτες και καθώς αυξανόταν ο αριθμός των παικτών, η εφαρμογή της θεωρίας γινόταν όλο και πιο δύσχρηστη. Ένα μεγάλο μέρος του βιβλίου πραγματεύεται τα παίγνια σε συνάρτηση με πίνακες απόδοσης για τους παίκτες, και καθώς ο αριθμός των παικτών αυξάνεται, οι πίνακες γίνονται όλο και μεγαλύτεροι απαιτώντας για τον υπολογισμό τους τεράστιες μήτρες.

Στη δεκαετία του '40 ο Τζων Φορμπς Νας επέκτεινε τη θεωρία του φον Νόυμαν σε παίγνια μη μηδενικού αθροίσματος. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το χρηματιστήριο: μπορεί να υπάρχουν κερδισμένοι και χαμένοι ανάμεσα στους παίκτες, αλλά το συνολικό ποσό χρημάτων επίσης μεταβάλλεται, καθώς η κεφαλαιοποίηση της αγοράς αυξάνεται. Ο Νας ανακάλυψε ότι τα παίγνια με μη μηδενικό άθροισμα είχαν επίσης μία λύση ισορροπίας. Γεννήθηκε το 1928 στη Δυτική Βιρτζίνια, τελείωσε το Carnegie Institute of Technology και έκανε το διδακτορικό του στο Πρίνστον, υποβάλλοντας τη διατριβή του για τα μη-συνεργατικά παιχνίδια το 1950. Ταυτόχρονα, υπέβαλε μία εργασία, για την οποία, το 1994, κέρδισε το Νόμπελ της Οικονομίας. Από το 1951 δίδαξε στο ΜΙΤ όπου έκανε πρωτοποριακή έρευνα στη γεωμετρία, στις πολλαπλότητες Ρήμαν και στον ευκλείδειο χώρο. Το 1959 αυτός ο πολλά υποσχόμενος μαθηματικός αρρώστησε από σχιζοφρένεια. Τις εμπειρίες του και την ανάρρωση του στα μέσα της δεκαετίας του 70 τα περιέγραψε ο ίδιος προσωπικά στο παγκόσμιο συνέδριο ψυχιατρικής το 1996. Συνέχισε να παράγει εξαιρετικό έργο, ακόμα και τον καιρό που ήταν έγκλειστος στο νοσοκομείο, σε τομείς όπως η γεωμετρία, η τοπολογία και οι διαφορικές εξισώσεις. Σήμερα εργάζεται στη γεωμετρία του χώρου.

Η εργασία του Νας έδειξε ότι υπάρχουν σενάρια όπου η βέλτιστη έκβαση δεν είναι η πιο προφανής ενέργεια. Γνωστό παράδειγμα είναι το αποκαλούμενο δίλημμα του φυλακισμένου που το σκέφτηκε ο Μέλβιν Ντρέσερ και το ερμήνευσε ο Άλμπερτ Τάκερ σε μία διάλεξη του σε φοιτητές ψυχολογίας. Το σενάριο έχει αλλάξει κάπως λόγω των πολλών αφηγητών που ακολούθησαν, αλλά στην αρχική του μορφή ο Τάκερ εξηγεί ότι δύο άντρες έχουν συλληφθεί για κάποιο αδίκημα και τοποθετούνται σε διαφορετικά κελιά. Αν ομολογήσει μόνο ο ένας, θα ανταμειφθεί, ενώ ο άλλος θα τιμωρηθεί' αν και οι δύο ομολογήσουν, θα τιμωρηθούν και οι δύο· αν κανείς δεν ομολογήσει, θα αφεθούν και οι δύο ελεύθεροι. Η ουσία του διλήμματος είναι ότι η βέλτιστη έκβαση είναι να μείνουν και οι δύο σιωπηλοί, οπότε θα απελευθερωθούν και οι δύο, αλλά ο φόβος ότι μία τέτοια στρατηγική μπορεί να στραφεί εναντίον τους, αν ο άλλος ομολογήσει, ίσως τους οδηγήσει στην ομολογία, περίπτωση στην οποία θα τιμωρηθούν και οι δύο. Με τέτοια στρατηγικά παιχνίδια και σενάρια στο μυαλό αναζητήθηκαν εφαρμογές στον χώρο των διαπραγματεύσεων σε στρατιωτικό, επιχειρηματικό ή προσωπικό επίπεδο. Πειραματικά ανακαλύφθηκε ότι οι άνθρωποι είχαν έντονη την αίσθηση της θεωρητικά βέλτιστης λύσης και ότι η παραμικρή παρασπονδία αμέσως οδηγούσε στην αντίδραση της άλλης πλευράς, το γνωστό μας πανάρχαιο οφθαλμόν αντί οφθαλμού.

Το σκάκι είναι πιθανότατα το πιο δημοφιλές παιχνίδι στρατηγικής στον

 κόσμο. Ο Τζων Φορμπς Νας απέδειξε ότι παρά την πολυπλοκότητα του,

 το σκάκι έχει μία βέλτιστη στρατηγική. Η ανακάλυψη μιας τέτοιας 

στρατηγικής θα έκανε το σκάκι ένα ακόμα τετριμμένο παιχνίδι

 όπως η τρίλιζα.

Υπάρχουν παιχνίδια για τα οποία υπάρχει η βέλτιστη στρατηγική, και μόλις αυτή βρεθεί το παιχνίδι γίνεται στην ουσία τετριμμένο. Π.χ. η τρίλιζα είναι ένα πολύ δημοφιλές παιδικό παιχνίδι, αλλά από τη στιγμή που η στρατηγική της έγινε κατανοητή και ο κάθε παίκτης παίζει ορθολογικά, τότε όλες οι παρτίδες καταλήγουν σε ισοπαλία και το ενδιαφέρον χάνεται. Ο Νας απέδειξε ότι ακόμα και το σκάκι έχει μία βέλτιστη στρατηγική, αλλά είναι τόσο πολύπλοκο, που αυτή η βέλτιστη στρατηγική δεν έχει ακόμα βρεθεί, ούτε καν σε σημείο που να μπορεί να πει εάν η κάθε παρτίδα θα καταλήξει σε ισοπαλία ή σε νίκη για τα λευκά. Εάν κάποτε βρεθεί αυτή η βέλτιστη στρατηγική, τότε το σκάκι θα γίνει και αυτό βαρετό και τετριμμένο όπως και η τρίλιζα. Υπήρχε κάποια βέλτιστη στρατηγική για τα πυρηνικά όπλα; Για μερικά χρόνια η Αμερική ήταν η μόνη πυρηνική δύναμη, αλλά ο φόβος ότι η Ρωσία θα κατασκεύαζε το δικό της πυρηνικό οπλοστάσιο οδήγησε μερικούς διανοητές όπως ο φον Νόυμαν και ο Μπέρτραντ Ράσελ να υποστηρίξουν ένα άμεσο πρώτο πυρηνικό χτύπημα εναντίον της και την ίδρυση ενός παγκόσμιου κοινοβουλίου που θα επέβαλε παγκόσμια ειρήνη. Αυτό δεν εφαρμόστηκε και έτσι η πολιτική σύντομα άλλαξε. Έγινε πολιτική αποτροπής και εξασφαλισμένης αμοιβαίας καταστροφής (MAD). Αυτού του είδους οι στρατηγικές αναπτύσσονταν κατά κανόνα στους μυστικοπαθείς κόλπους διανοητών της εταιρίας RAND.

Η εταιρεία RAND ιδρύθηκε το 1945 με χρήματα που είχαν περισσέψει από την πολεμική προσπάθεια. Αρχικά ήταν τμήμα του ερευνητικού προγράμματος Douglas Aircraft αλλά το 1948 επανιδρύθηκε στην ουσία ως μη κερδοσκοπική οργάνωση χρηματοδοτούμενη από τον στρατιωτικό και τον επιχειρηματικό τομέα. Είναι ένα τυπικό think tank, μία συγκέντρωση δηλαδή εγκεφάλων που η βασική τους δουλειά είναι να «διανοούνται το αδιανόητο». Τα αρχικά RAND σήμαιναν «έρευνα και ανάπτυξη», με έμφαση στην εθνική στρατηγική σε έναν πυρηνικό κόσμο. Όλοι οι μαθηματικοί των ΗΠΑ στις δεκαετίες '40 και '50 που προαναφέρθηκαν κάποια εποχή δούλεψαν εκεί. Ο Νας τους εισήγαγε σε μία σειρά από παιχνίδια, που περιλάμβαναν και το Kriegspiel. Η λογιστική του πολέμου μελετήθηκε με ακρίβεια και αναπτύχθηκαν ασφαλείς μηχανισμοί για την αποτροπή οποιουδήποτε τυχαίου χτυπήματος. Με τον φόβο παρόντα και στις δύο πλευρές του αναπτυσσόμενου οπλοστασίου, η στρατηγική οφθαλμός αντί οφθαλμού έμοιαζε εντελώς απίθανη - το πυρηνικό παιχνίδι μπορούσε να παιχθεί μία και μόνη φορά. Η έντονη αντιπαράθεση των υπερδυνάμεων για δύο γενεές άφησε τα σημάδια της στον πληθυσμό και στους ηγέτες του. Διανοούμαι το αδιανόητο σήμαινε δεν αφήνω καμία πλευρά να διαπράξει το αδιόρθωτο.

Η RAND λειτουργούσε περισσότερο σαν πανεπιστήμιο και λιγότερο σαν στρατιωτικός οργανισμός. Οι άνθρωποι της είχαν την ελευθερία να ακολουθούν τα δικά τους ιδιόρρυθμα στυλ ζωής και η έδρα της ήταν ανοικτή 24 ώρες το εικοσιτετράωρο. Η RAND είχε και το δικό της πολύ πετυχημένο εκδοτικό τμήμα. Ένα από τα πιο δημοφιλή βιβλία που έβγαλε το 1954 ήταν το The Compleat Strategyst του Τζων Γουίλιαμς, μία εκλαϊκευτική παρουσίαση των εφαρμογών της θεωρίας των παιγνίων γραμμένη με το μαύρο χιούμορ που ήταν της μόδας στην οργάνωση. Τώρα υπάρχουν πολλά άλλα think tanks που οφείλουν την ύπαρξη τους στην επιτυχία της RAND, όμως κανένα από αυτά δεν είχε και δεν έχει στους κόλπους του τόσους πολλούς μαθηματικούς που η μόνη τους δουλειά να είναι η αφηρημένη σκέψη.

Σε αυτού του είδους τα στρατηγικά παιχνίδια χρησιμοποιείται η ορολογία της συνεργασίας και της αποστασίας. Η θεωρία των παιγνίων υπέστη αργότερα έντονη κριτική λόγω του κυνισμού με τον οποίο αντιμετωπίζει τους ανθρώπους ως άτομα που ενδιαφέρονται μόνο για το δικό τους καλό, αλλά μεταγενέστερες μελέτες έδειξαν ότι οι στρατηγικές που ακολουθούν οι άνθρωποι στην καθημερινή τους ζωή όντως αντανακλούν την αντίληψη που έχουν για το σχετικό κέρδος. Σε ένα παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος η ισοπαλία θα άφηνε τους δύο παίκτες στο ίδιο σημείο από το οποίο θα είχαν ξεκινήσει, όταν όμως το παιχνίδι είναι μη μηδενικού αθροίσματος, όπως το χρηματιστήριο, το κέρδος και η απώλεια είναι σχετικά, και το παιχνίδι έχει περισσότερο να κάνει με τη μεγιστοποίηση του προσωπικού κέρδους παρά με τη νίκη κατά κάποιου αντιπάλου. Η συνεργασία έτσι γίνεται πιο συνηθισμένη εάν και οι δύο πλευρές κερδίζουν από τη συναλλαγή. Αν και αρχικά άργησε να αναπτυχθεί, η θεωρία των παιγνίων είναι τώρα πια ακέραιο τμήμα της ανάλυσης της οικονομίας της αγοράς. Μία πρόσφατη χρήση ήταν το παγκόσμιο φαινόμενο της εκχώρησης δημοσίων επιχειρήσεων στον ιδιωτικό τομέα εξασφαλίζοντας έτσι πολύτιμα έσοδα και ανοίγοντας καινούργιες αγορές για ανάπτυξη. Ολόκληρη η παγκόσμια αγορά είναι μία συνεχώς μεταλλασσόμενη σκηνή συνεργασιών και ανταγωνισμών - ένας κόσμος της θεωρίας των παιγνίων.

Προτείνω να εξετάσουμε το ζήτημα, «Μπορούν οι μηχανές να σκέπτονται;»...

Η νέα μορφή του προβλήματος μπορεί να περιγραφεί συναρτήσει ενός παιχνιδιού που το λέμε «παιχνίδι μίμησης». Παίζεται με τρία πρόσωπα, έναν άντρα (Α), μία γυναίκα (Β), και έναν ανακριτή (Γ) που μπορεί να είναι οποιουδήποτε φύλου. Ο ανακριτής βρίσκεται σε ένα δωμάτιο χωριστά από τους άλλους δύο. Αντικείμενο του παιχνιδιού για τον ανακριτή είναι να καταλάβει ποιος από τους άλλους δύο είναι ο άντρας και ποιος είναι η γυναίκα... το αντικείμενο του Α στο παιχνίδι είναι να παραπλανήσει τον Γ... Για να μην μπορούν να βοηθήσουν οι φωνές τον ανακριτή, οι απαντήσεις πρέπει να είναι γραπτές, ή ακόμα καλύτερα, γραμμένες στη γραφομηχανή. Το ιδανικό στήσιμο είναι να υπάρχει από ένα τηλέτυπο σε κάθε δωμάτιο... Το αντικείμενο του παιχνιδιού για τον τρίτο παίκτη (Β) είναι να βοηθήσει τον ανακριτή... Μπορεί να προσθέσει πράγματα όπως «εγώ είμαι γυναίκα μην τον ακούς αυτόν!» στις απαντήσεις της, αλλά κάτι τέτοιο δεν θα βοηθούσε καθόλου, δεδομένου ότι και ο άντρας θα μπορούσε να κάνει την ίδια ακριβώς δήλωση.

Ρωτάμε τώρα, «τι θα συνέβαινε αν τη θέση του Α σ’ αυτό το παιχνίδι την έπαιρνε μία μηχανή;» Ο ανακριτής θα κατέληγε σε λανθασμένη απάντηση με την ίδια συχνότητα όπως αν το παιχνίδι παιζόταν ανάμεσα σε έναν άντρα και σε μία γυναίκα; Αυτά τα ερωτήματα αντικαθιστούν το αρχικό μας, «Μπορούν οι μηχανές να σκέπτονται;»

Άλαν Τιούρινγκ, Can a Machine Think?, 1950

Richard Mankiewicz, Η ιστορία των μαθηματικών

(Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, 2002, σ. 159-163)