Πλατωνισμός και μαθηματικά

Η γνώση στην οποία στοχεύει η γεωμετρία είναι η γνώση του αιώνιου

Πλάτων, Πολιτεία, VII, 527

Σε κάθε συζήτηση πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών παρουσιάζονται τρία κύρια δόγματα: Ο πλατωνισμός, ο φορμαλισμός και ο κονστρουκτιβισμός.

Σύμφωνα με τον πλατωνισμό, τα μαθηματικά αντικείμενα είναι πραγματικά. Η ύπαρξη τους είναι ένα αντικειμενικό γεγονός, εντελώς ανεξάρτητο από τη γνώση μας γι’ αυτά. Απειροσύνολα, μη αριθμήσιμα απειροσύνολα, καμπύλες που γεμίζουν το χώρο, απειροδιάστατες πολλαπλότητες – όλα αυτά τα μέλη του μαθηματικού ζωολογικού κήπου είναι συγκεκριμένα αντικείμενα με συγκεκριμένες ιδιότητες, μερικές γνωστές, πολλές άγνωστες. Φυσικά αυτά τα αντικείμενα δεν είναι υλικά. Υπάρχουν έξω από το χώρο και το χρόνο της φυσικής ύπαρξης. Είναι αμετάβλητα – δεν δημιουργήθηκαν και δεν πρόκειται να αλλάξουν ή να εξαφανιστούν. Κάθε λογική ερώτηση σχετικά με ένα μαθηματικό αντικείμενο έχει μια συγκεκριμένη απάντηση, αδιάφορο αν μπορούμε να την καθορίσουμε ή όχι. Σύμφωνα με τον πλατωνισμό, ο μαθηματικός είναι ένας εμπειρικός επιστήμονας όπως ο γεωλόγος. Δεν μπορεί να εφεύρει τίποτα, επειδή όλα υπάρχουν ήδη. Το μόνο που μπορεί να κάνει είναι να τα ανακαλύψει.

Δύο ένθερμοι πλατωνιστές είναι ο Rene Thon και Kurt Gödel. Ο Thon γράφει, στα 1971:

Για οτιδήποτε εξετάζεται, οι μαθηματικοί θα πρέπει να δείχνουν τη δύναμη των πιο βαθιών τους πεποιθήσεων και έτσι να επιβεβαιώνουν ότι οι μαθηματικές μορφές έχουν πραγματική ύπαρξη, ανεξάρτητη από το νου που τους εξετάζει… Όμως, σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή, οι μαθηματικοί έχουν μόνο μία ατελή και αποσπασματική άποψη αυτού του κόσμου των ιδεών.

Να και η άποψη του Gödel:

Όσο απομακρυσμένα κι αν είναι τα αντικείμενα της θεωρίας συνόλων από την εμπειρία των αισθήσεων, έχουμε πράγματι γι’ αυτά κάτι σαν αντίληψη, όπως φαίνεται από το γεγονός ότι τα αξιώματα επιβάλλονται πάνω μας σαν να υπάρχουν στ’ αλήθεια. Δε βρίσκω για πιο λόγο θα πρέπει να έχουμε λιγότερη εμπιστοσύνη σ’ αυτό το είδος της αντίληψης, δηλαδή στη μαθηματική ενόραση, από ότι στην άμεση αντίληψη… Και οι δύο μπορούν να αντιπροσωπεύουν μια όψη της αντικειμενικής προσωπικότητας. 

Από την άλλη μεριά, για το φορμαλισμό, δεν υπάρχουν μαθηματικά αντικείμενα. Απλά τα μαθηματικά αποτελούνται από αξιώματα, ορισμούς και θεωρήματα – με άλλα λόγια από τύπους […] Οι φορμαλιστές και οι πλατωνιστές αντιμετωπίζουν από αντίθετες πλευρές το ζήτημα της ύπαρξης και της πραγματικότητας. Αλλά δε διαφωνούν για το ποιες αρχές συλλογισμού επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται στη μαθηματική πρακτική. Αντίθετοι και με τους δύο είναι οι κονστρουκτιβιστές. Αυτοί θεωρούν γνήσια μαθηματικά μόνον εκείνα τα οποία μπορούν να παραχθούν από μια πεπερασμένη δομή. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ή οποιοδήποτε άλλο άπειρο σύνολο, δεν μπορεί να επιτευχθεί με αυτόν τον τρόπο. […]

Οι περισσότεροι συγγραφείς που έχουν πραγματευθεί αυτό το θέμα φαίνεται να συμφωνούν ότι ο τυπικός μάχιμος μαθηματικός είναι πλατωνιστής τις καθημερινές και φορμαλιστής τα σαββατοκύριακα. Αυτό σημαίνει πως όταν ασχολείται με μια μαθηματικά, είναι πεπεισμένος ότι καταπιάνεται με μια αντικειμενική πραγματικότητα της οποίας προσπαθεί να καθορίσει τις ιδιότητες. Αλλά όταν προκαλείται να δώσει μια φιλοσοφική ερμηνεία γι’ αυτήν την πραγματικότητα, το βρίσκει πιο εύκολο να προσποιηθεί ότι τελικά δεν πιστεύει σ’ αυτή. […]

Οι ρίζες της φιλοσοφίας των μαθηματικών, όπως και των ίδιων των μαθηματικών βρίσκονται στην κλασική Ελλάδα. Για τους αρχαίους Έλληνες τα μαθηματικά σήμαιναν γεωμετρία. […]

Για τον Πλάτωνα η αποστολή της φιλοσοφίας ήταν να αποκαλύψει την αληθινή γνώση πίσω από το πέπλο της δοξασίας και της φαινομενικότητας, της μεταβλητότητας και της απατηλότητας του προσωρινού κόσμου. Σ’ αυτό το έργο, τα μαθηματικά είχαν μια κεντρική θέση, γιατί η μαθηματική γνώση ήταν το κύριο υπόδειγμα γνώσης απαλλαγμένης από την εμπειρία των αισθήσεων, γνώσης των αιώνιων και αναγκαίων αληθειών.

Στο διάλογο του Πλάτωνα Μένων, ο Σωκράτης ρωτά έναν νεαρό δούλο και τον οδηγεί στην ανακάλυψη (ενός γεωμετρικού θεωρήματος). […] Πως το ξέρει αυτό ο νεαρός δούλος; Ο Σωκράτης ισχυρίζεται ότι δεν το έμαθε στη θνητή ζωή του, επομένως πρέπει να είναι μια ανάμνηση από μια άλλη ζωή πριν από τη γέννηση. Για τον Πλάτωνα αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχει κάτι που το λένε αληθινή γνώση, γνώση του αιώνιου. Ο Πλάτων ισχυρίζεται ότι:

1. Ξέρουμε αλήθειες της γεωμετρίας που δεν τις μάθαμε μέσα από την παιδεία ή την εμπειρία.

2. Αυτή η γνώση είναι ένα υπόδειγμα των αμετάβλητων, καθολικών αληθειών τις οποίες μπορούμε, πράγματι, να συλλάβουμε και να αναγνωρίσουμε.

3. Έτσι πρέπει να υπάρχει ένας χώρος της απόλυτης, αμετάβλητης αλήθειας πηγή και βάση της γνώσης της Αρετής.

Η σύλληψη της γεωμετρίας ήταν για τον Πλάτωνα ένα κλειδί για τη σύλληψη του κόσμου […]

P. J. Davis - R. Hersh, Η Μαθηματική Εμπειρία

(ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΤΡΟΧΑΛΙΑ, 1981, σελ. 307 – 314)